Question

【题目】己知椭圆W：+=1（a>b>0），直线：=与轴，轴的交点分别是椭圆W的焦点与顶点。

（1）求椭圆W的方程；

（2）设直线m：=kx（k≠0）与椭圆W交于P，Q两点，过点P（，）作PC⊥轴，垂足为点C，直线交椭圆w于另一点R。

①求△PCQ面积的最大值；②求出∠QPR的大小。

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②90.

【解析】

（1）由题意求出c，b，进而得到椭圆W的方程；

（2）①设P（，），则Q（，），C（，0），可知S，利用点在椭圆上及均值不等式即可得到△PCQ面积的最大值；②设P（，），则Q（，），C（，0），k=，直线QR的斜率，直线QR的方程：（）与椭圆方程联立可得（2+）2－2，求得R点坐标，进而得到即可得到结果.

（1）直线：与轴，轴的交点分别（，0），（0，），

可知c=，，椭圆W的方程。

（2）①设P（，），则Q（，），C（，0），可知S，

有已知可知，根据重要不等式得，S，

当且仅当或时，面积取得最大值。

②设P（，），则Q（，），C（，0），k=。

直线QR的斜率。

可得直线QR的方程：（），设点R（，），

联立消去得（2+）2－2，

则，解得，所以，点R（，）。

因为，所以，所以∠QPR=90°。