Question

一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm和60cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？

Answer 1

分析：如图所示．设AC=40，BC=60．则直线AB的方程为

x

40

+

y

60

=1．设E（x，y），则

x

40

+

y

60

=1．（0＜x＜40，0＜y＜60）．利用基本不等式可得1≥2

x 40 • y 60

，化为xy≤600，当且仅当

x

40

=

y

60

=

1

2

，即x=20，y=30时取等号．此时剪下的矩形面积CDEF最大，可使得剩下的面积最少．

解答：解：如图所示．设AC=40，BC=60．
则直线AB的方程为

x

40

+

y

60

=1．
设E（x，y），则

x

40

+

y

60

=1．（0＜x＜40，0＜y＜60）．
∴1≥2

x 40 • y 60

，化为xy≤600，当且仅当

x

40

=

y

60

=

1

2

，即x=20，y=30时取等号．
∴S_矩形CDEF=xy≤600．
∵△ABC的面积S=

1

2

×40×60=1200．是固定的，
∴当使得DE=20，EF=30，剪下矩形CDEF的面积最大时，才能使剩下的残料最少．

点评：本题考查了基本不等式的应用、直线的截距式等基础知识与基本方法，属于中档题．