Question

（1）求中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P（3，-2

6

）的椭圆方程；
（2）求e=

6

3

，并且过点（3，0）的椭圆的标准方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），根据题意建立关于a、b的方程组，解之可得答案；
（2）由于椭圆的焦点位置不确定，故进行分类讨论，根据题意分别建立关于a、b的方程组，解出a、b的值，进而可求出椭圆的标准方程．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵椭圆的焦距等于4，且经过点P（3，-2

6

），

2c=2 a2-b2 =4 32 a2 + (-2 6 )2 b2 =1

，解得

a2=36 b2=32

，
∴所求的椭圆方程为

x2

36

+

y2

32

=1；
（2）①当椭圆的焦点在x轴上时，
∵a=3，e=

c

a

=

6

3

，
∴c=

6

，可得b²=a²-c²=3．
此时椭圆的标准方程为

x2

9

+

y2

3

=1；
②当椭圆的焦点在y轴上时，
∵b=3，e=

c

a

=

6

3

，
∴

a2-b2

a

=

6

3

，解得a²=27．
此时椭圆的标准方程为

y2

27

+

x2

9

=1．
综上所述，所求椭圆的标准方程为

x2

9

+

y2

3

=1或

y2

27

+

x2

9

=1．

点评：本题求椭圆的标准方程，重点考查了椭圆的标准方程、简单几何性质等知识，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．