Question

如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=2，E、F分别是AB与PD的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥BD；
（Ⅱ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）由于AC是斜线PC在平面ABCD上的射影，故可利用三垂线定理，转化为证明：AC⊥BD
（2）要证明AF∥平面PEC，关键是要找到平面PEC中与AF平行的直线
（3）要求二面角的大小，要先求出二面角的平面角，然后转化为解三角形问题．

解答：解：（I）连接AC，则AC⊥BD．
∵PA⊥平面ABCD，AC是斜线，
PC在平面ABCD上的射影，
∴由三垂线定理得PC⊥BD．

（II）取PC的中点K，连接FK、EK，
则四边形AEKF是平行四边形，
∴AF∥EK，又EK?平面PEC，
AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．

（III）延长DA、CE交于M，过A作AH⊥CM于H，
连接PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM．
∴∠PHA为所求二面角P-EC-D的平面角．
∵E为AB的中点，AE∥CD，∴AM=AD=2．
在△AME中，∠MAE=120°，
由余弦定理得EM²=AM²+AE²-2AM•AEcos120°=7，
∴EM=

7

，又S△AEM=

1

2

AH•AE•sin120°，
∴AH=

3

7

，
∴tanPHA=

PA

AH

=

2 21

3

．
∴二面角P-EC-D的大小为arctan

2 21

3

点评：线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．
判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a∥α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?β，a∥α?a∥β）．