Question

设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得,如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

1）由△是直角三角形，可得

（3）由（2）知, 设：

由           得  

设，    则，     -----------------8分

的中点

      则      ----------------10分

【解析】(1)易求.（2）易知△外接圆圆心为,根据圆心到直线l的距离等于半径a,建立关于a的方程，求出a的值，再根据（1），即可求出椭圆C的方程.

(3)此问是探索性问题，可先假设存在，然后把题目中的条件转化为MN的中点Q与P的连线垂直MN，然后由直线的方程与椭圆方程联立，借助韦达定理求出中点Q的坐标，再根据,建立m与k的函数关系式，注意k不等于零,进而根据函数有关知识求解此题.