Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，为直角三角形且，是等边三角形.

（1）求证：；

（2）若，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）取AP中点F，连接DM，BM，由已知可证PA⊥DM，PA⊥BM，又DM∩BM=M，可得PA⊥平面DMB，因为BD平面DMB，可证PA⊥BD；

（2）由已知可得△DAP是等腰三角形，又△ABP是等边三角形，可求出MD⊥MB，以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出平面DPC与平面PCB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角D﹣PC﹣B的余弦值，进一步求得正弦值．

（1）证明：取中点，连，

∵，为等边三角形，

∴，又，

∴平面，又∵平面，∴.

（2）解：∵，为中点，结合题设条件可得，

∴，∴.

如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，

得，，，

设平面的一个法向量，

则即，∴.

设平面的一个法向量，

由即，∴.

∴ .

设二面角的平面角为，则由图可知，∴.