Question

设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0且b≠0)． (1) 已知f(x)的对称轴方程是x＝1，当f(x)的图象在x轴上截得的弦长不小于2时，试求a、b、c满足的条件 (2) 若｜f(0)｜≤1，｜f(－1)｜≤1，｜f(1)｜≤1，证明：｜b｜≤1，｜a｜≤2．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：依题意，得－＝1． 　　即b＝－2a．∵a＞0且b≠0，∴b＜0． 　　令f(x)＝0的两根为x1、x2，则函数y＝f(x)的图象与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0)，且x1＋x2＝2，x1x2＝，满足题设的充要条件是 　　 　　∴a＞0，c≤0，b＜0且b＝－2a为所求．
(2)	∵｜2b｜＝｜(a＋b＋c)－(a－b＋c)｜≤｜a＋b＋c｜＋｜a－b＋c｜＝｜f(1)｜＋｜f(－1)｜≤2，即｜b｜≤1． 　　∴｜2a＋2c｜＝｜(a＋b＋c)＋(a－b＋c)｜≤｜a＋b＋c｜＋｜a－b＋c l＝｜f(1)｜＋｜f(－1)｜≤2． 　　∴｜a＋c｜≤1，∴－1≤a＋c≤1， 　　又∵｜c｜＝｜f(0)｜≤1，∴－1≤c≤1， 　　∴－2≤a≤2，∴｜a｜≤2． 　　分析：(1)根据题设条件，并利用韦达定理可以得到a、b、c满足的条件；(2)将条件转化成关于a、b、c的绝对值不等式．再利用绝对值不等式．｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜进行放缩后，可使问题获证．