题目内容

已知向量
a
=(sinx，
3
4
)，
b
=(cosx，-1)．
（1）当
a
∥
b
时，求cos2x-sin2x的值；
（2）设函数f(x)=2(
a
+
b
)•
b
，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=
3
，b=2，sinB=
6
3
，求f(x)+4cos(2A+
π
6
)(x∈[0，
π
4
])的取值范围．
分析：（1）由两向量的坐标，以及两向量平行列出关系式，整理求出tanx的值，所求式子变形后利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanx的值代入计算即可求出值；
（2）利用平面向量的数量积运算法则确定出f（x），由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，确定出A的度数，代入所求式子，根据x的范围求出这个角的范围，进而求出正弦函数的值域，即可确定出所求式子的范围．
解答：解：（1）∵
a
=（sinx，
3
4
），
b
=（cosx，-1），
a
∥
b
，
∴-sinx=
3
4
cosx，即tanx=-
3
4
，
则cos2x-sin2x=cos2x-2sinxcosx=
cos2x-2sinxcosx
cos2x+sin2x
=
1-2tanx
1+tan2x
=
1+2×
3
4
1+
9
16
=
8
5
；
（2）f（x）=2（
a
+
b
）•
b
=2（sinxcosx+cos2x+
1
4
）=sin2x+cos2x+
3
2
=
2
sin（2x+
π
4
）+
3
2
，
∵a=
3
，b=2，sinB=
6
3
，
∴由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
得：sinA=
asinB
b
=
3
×
6
3
2
=
2
2
，
∵a＜b，∴A＜B，
∴A=
π
4
，
∴原式=
2
sin（2x+
π
4
）-
1
2
，
∵x∈[0，
π
4
]，∴2x+
π
4
∈[
π
4
，
3π
4
]，
∴1≤
2
sin（2x+
π
4
）≤
2
，
则
1
2
≤
2
sin（2x+
π
4
）-
1
2
≤
2
-
1
2
．即所求式子的范围为[
1
2
，
2
-
1
2
]．
点评：此题考查了余弦定理，数量积的坐标表达式，正弦函数的定义域与值域，以及三角函数的恒等变换，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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