Question

（选做1）设a，b，c都为正数，求证：

1

ab

+

1

bc

+

1

ca

≤

1

a

+

1

b

+

1

c

≤

a8+b8+c8

(abc)3

．

Answer 1

分析：根据所要证不等式的特点，先证明一个结论：当x＞0，y＞0，z＞0时，有x²+y²+z²≥xy+yz+xz，令x=

1

a

，y=

1

b

，z=

1

c

，得：

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

1

ab

+

1

bc

+

1

ca

；同理：

a8+b8+c8

(abc)2

≥

a4b 4+b4c 4+c4a 4

(abc)2

，再继续利用上述结论即可证得结论．

解答：解：当x＞0，y＞0，z＞0时，有x²+y²≥2xy，x²+z²≥2xz，y²+z²≥2yz，
∴2（x²+y²+z²）≥2（xy+yz+xz），∴x²+y²+z²≥xy+yz+xz，
令x=

1

a

，y=

1

b

，z=

1

c

，得：

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

1

ab

+

1

bc

+

1

ca

；
同理：

a8+b8+c8

(abc)2

≥

a4b 4+b4c 4+c4a 4

(abc)2

≥

a2b 4c 2+a 4b2c 2+c4a 2b 2

(abc)2

=

a2b 2c 2(a 2+b2 +c2 )

(abc)2

=a²+b²+c²≥ab+bc+ca，
∴

a8+b8+c8

(abc)3

≥

ab+bc+ca

abc

=

1

a

+

1

b

+

1

c

．
综上所述，

1

ab

+

1

bc

+

1

ca

≤

1

a

+

1

b

+

1

c

≤

a8+b8+c8

(abc)3

．

点评：本小题主要考查不等式的证明、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．