Question

【题目】如图,矩形中,,,为的中点,点,分别在线段,上运动（其中不与,重合,不与,重合）,且,沿将折起,得到三棱锥,则三棱锥体积的最大值为__________；当三棱锥体积最大时,其外接球的表面积的值为_______________.

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）依题意设,则,利用椎体体积公式列式,再根据二次函数顶点式和正弦函数的取值范围得出最大值.

（2）依题意建立如图空间直角坐标系,列出各点的坐标,设球心坐标, 根据球心到各点距离等半径求球心坐标,即可得出半径,最后求出三棱锥的外接球面积.

解：依题意设,

则,

因为,所以,

与平面所成角为

当,时三棱锥体积取得最大值.

所以三棱锥体积的最大值为.

故答案为：

（2）由（1）知道三棱锥体积取得最大值时,

与平面所成角,即平面,

折起如图所示：依题意可建立如图所示空间直角坐标系：

所以,,,

设三棱锥外接球的球心为

解,所以

外接球面积为.

故答案为：