Question

（2013•长宁区一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=

3

，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．
（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．

Answer 1

分析：根据旋转体的轴截面图，利用平面几何知识求得球的半径与AC长，再利用面积公式与体积公式计算即可．

解答：解：（1）连接OM，则OM⊥AB

设OM=r，OB=

3

-r，在△BMO中，sin∠ABC=

r

3 -r

=

1

2

?r=

3

3

∴S=4πr²=

4

3

π．
（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=

3

，∴AC=1．
∴V=V_圆锥-V_球=

1

3

π×AC²×BC-

4

3

πr³=

1

3

π×

3

-

4

3

π×

3

9

=

5 3

27

π．

点评：本题考查旋转体的表面积与体积的计算．S_球=4πr²；V_圆锥=

1

3

πr³．