Question

已知关于x的不等式-2≤x²+ax+b≤1（a∈R，b∈R，a≠0）恰好有一解，则b+

1

a2

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：关于x的不等式-2≤x²+ax+b≤1（a∈R，b∈R，a≠0）恰好有一解，则当且仅当x=-

a

2

，f(-

a

2

)=1时满足条件．再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：令f（x）=x²+ax+b．
∵关于x的不等式-2≤x²+ax+b≤1（a∈R，b∈R，a≠0）恰好有一解，
则当且仅当x=-

a

2

，f(-

a

2

)=1时满足条件．
∴b-

a2

4

=1．
∴b+

1

a2

=

a2

4

+

1

a2

+1≥2

a2 4 × 1 a2

+1=2，当且仅当a²=2时取等号．
故答案为：2．

点评：本题考查了二次函数的性质、基本不等式的性质，属于中档题．