Question

如图：从椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F₁（-c，0），且

.

AB

∥

.

OM

，则a，b，c必满足

b=c=

2

2

a

．

Answer 1

分析：根据MF₁⊥x轴算出|MF₁|=

b2

a

，由

.

AB

∥

.

OM

得到△ABO∽△OMF₁，利用比例线段得出b=c，再结合a²=b²+c²算出b=c=

2

2

a，从而得到本题的答案．

解答：解：∵MF₁⊥x轴，∴设M（-c，y₀），代入椭圆方程可得

c2

a2

+

y02

b2

=1，
因此y₀=

b2

a

（舍负），可得|MF₁|=

b2

a

∵

.

AB

∥

.

OM

，
∴△ABO∽△OMF₁，可得

|MF1|

|OB|

=

|OF1|

|AO|

，即

b2 a

b

=

c

a

解之得b=c，结合a²=b²+c²得b=c=

2

2

a
∴椭圆的离心率e=

c

a

=

2

2

故答案为：b=c=

2

2

a

点评：本题给出椭圆通径的一端与原点连线平行于右顶点、上顶点的连线，求a、b、c满足的关系式，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．