Question

已知函数.
（1）求函数的最大值；
（2）若函数与有相同极值点，
①求实数的值；
②若对于（为自然对数的底数），不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）（2）

试题分析：（1），      
由得；由得.
在上为增函数，在上为减函数.       
函数的最大值为.     
（2）.
①由（1）知，是函数的极值点，
又函数与有相同极值点，是函数的极值点，
，解得.       
经验证，当时，函数在时取到极小值，符合题意. 
②，
易知，即.
.     
由①知.
当时，；当时，.
故在上为减函数，在上为增函数.
，
而.
.  
当，即时，对于，不等式恒成立.
，
.       
当，即时，对于，不等式恒成立.
，
.
综上，所求实数的取值范围为.       
点评：导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数的取值范围等。