Question

（16）如图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B－AO－C是直二面角.动点D在斜边AB上.

（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；

（Ⅱ）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小；

（Ⅲ）求CD与平面AOB所成角的最大值.

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，

∴∠BOC是二面角B－AO－C的平面角.

又∵二面角B－AO－C是直二面角，

∴CO⊥BO，又∵AO∩BO=O，

∴CO⊥平面AOB，

又CO平面COD，

∴平面COD⊥平面AOB.

（Ⅱ）作DE⊥OB，垂足为E，连结CE（如图），则DE∥AO，

∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.

在Rt△COE中，CO=BO=2，OE=BO=1，

∴CE=.

又DE=AO=，

∴在Rt△CDE中，tan∠CDE=，

∴异面直线AO与CD所成角的大小为arctan.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，CO⊥平面AOB，

∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，且tan∠CDO=.

当OD最小时，∠CDO最大，

这时，OD⊥AB，垂足为D，OD==，tan∠CDO=，

∴CD与平面AOB所成角的最大值为arctan.

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）建立空间直角坐标系O－xyz，如图，

则O（0，0，0），A（0，0，2），C（2，0，0），D（0,1，），

∴=（0，0，2），=（-2，1，），

∴cos〈，〉＝＝，

∴异面直线AO与CD所成角的大小为arccos.

（Ⅲ）同解法一