题目内容
已知圆C经过点A(1,-1),B(-2,0),C(
,1)直线l:mx-y+1-m=0
(1)求圆C的方程;
(2)求证:?m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;
(3)若直线l与圆C交于M、N两点,当|MN|=
时,求m的值.
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(1)求圆C的方程;
(2)求证:?m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;
(3)若直线l与圆C交于M、N两点,当|MN|=
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分析:(1)设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A、B、C的坐标代入,建立关于D、E、F的方程组,解之即可得到△ABC的外接圆C的方程;
(2)由题意直线l经过定点P(1,1),而点P恰好是圆内一点,因此可得直线l与圆C总有两个不同的交点;
(3)由点到直线的距离公式,算出圆心到直线l的距离d=
,再由垂径定理结合弦长|MN|=
,建立关于m的方程,解之可得m的值.
(2)由题意直线l经过定点P(1,1),而点P恰好是圆内一点,因此可得直线l与圆C总有两个不同的交点;
(3)由点到直线的距离公式,算出圆心到直线l的距离d=
|m| | ||
|
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解答:解:(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
∵A(1,-1),B(-2,0),C(
,1)在圆上
∴
,解之得
因此,圆的方程为x2+y2-2y-4=0;…(4分)
(2)将圆化成标准方程,得x2+(y-1)2=5
∴圆心是(0,1),半径为r=
∵直线l:mx-y+1-m=0恒过点P(1,1),
而P点满足:12+(1-1)2<5,说明点P在圆内
∴?m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;…(8分)
(3)∵圆心(0,1),半径为r=
,
∴圆心到直线l的距离d=
=
又∵|MN|=2
∴
=2
,解之得m=
或-
.…(12分)
∵A(1,-1),B(-2,0),C(
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∴
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因此,圆的方程为x2+y2-2y-4=0;…(4分)
(2)将圆化成标准方程,得x2+(y-1)2=5
∴圆心是(0,1),半径为r=
5 |
∵直线l:mx-y+1-m=0恒过点P(1,1),
而P点满足:12+(1-1)2<5,说明点P在圆内
∴?m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;…(8分)
(3)∵圆心(0,1),半径为r=
5 |
∴圆心到直线l的距离d=
|-m| | ||
|
|m| | ||
|
又∵|MN|=2
r2-d2 |
∴
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3 |
3 |
点评:本题求三角形的外接圆方程,并求外接圆与直线l的位置关系,着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题.

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