题目内容

已知圆C经过点A(1,-1),B(-2,0),C(
5
,1)直线l:mx-y+1-m=0
(1)求圆C的方程;
(2)求证:?m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;
(3)若直线l与圆C交于M、N两点,当|MN|=
17
时,求m的值.
分析:(1)设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A、B、C的坐标代入,建立关于D、E、F的方程组,解之即可得到△ABC的外接圆C的方程;
(2)由题意直线l经过定点P(1,1),而点P恰好是圆内一点,因此可得直线l与圆C总有两个不同的交点;
(3)由点到直线的距离公式,算出圆心到直线l的距离d=
|m|
m2+1
,再由垂径定理结合弦长|MN|=
17
,建立关于m的方程,解之可得m的值.
解答:解:(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
∵A(1,-1),B(-2,0),C(
5
,1)在圆上
1+1+D-E+F=0
4+0-2D+F=0
5+1+
5
D+E+F=0
,解之得
D=0
E=-2
F=-4

因此,圆的方程为x2+y2-2y-4=0;…(4分)
(2)将圆化成标准方程,得x2+(y-1)2=5
∴圆心是(0,1),半径为r=
5

∵直线l:mx-y+1-m=0恒过点P(1,1),
而P点满足:12+(1-1)2<5,说明点P在圆内
∴?m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;…(8分)
(3)∵圆心(0,1),半径为r=
5

∴圆心到直线l的距离d=
|-m|
m2+1
=
|m|
m2+1

又∵|MN|=2
r2-d2

17
=2
5-(
|m|
m2+1
)2
,解之得m=
3
或-
3
.…(12分)
点评:本题求三角形的外接圆方程,并求外接圆与直线l的位置关系,着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题.
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