题目内容

已知圆C经过点A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则C的方程是(  )
分析:根据垂径定理可得弦AB的垂直平分线必然过圆心,故利用线段中点坐标公式求出AB的中点坐标,由A和B的坐标求出直线AB的斜率,根据两直线垂直时斜率的乘积为-1求出线段AB垂直平分线的斜率,由求出的斜率与AB的中点坐标得出线段AB的垂直平分线方程,又圆心在x轴上,令求出的直线方程中y=0,求出x的值,可确定出圆心C的坐标,再由A和C的坐标,利用两点间的距离公式求出|AC|的长,即为圆C的半径,由圆心和半径写出圆C的标准方程即可.
解答:解:∵A(5,1),B(1,3),
∴线段AB的中点坐标为(
5+1
2
1+3
2
),即(3,2),
直线AB的斜率kAB=
3-1
1-5
=-
1
2

∴线段AB垂直平分线的方程为y-2=2(x-3),即y=2x-4,
又圆心在x轴上,∴令y=0,得到2x-4=0,即x=2,
∴圆心C坐标为(2,0),
∴圆的半径r=|AC|=
(5-2)2+(1-0)2
=
10

则圆C的方程为(x-2)2+y2=10.
故选D
点评:此题考查了圆的标准方程,涉及的知识有:线段的中点坐标公式,两直线垂直时斜率满足的关系,直线的点斜式方程,一次函数与坐标轴的交点,两点间的距离公式,以及垂径定理的运用,根据题意确定出圆心C的坐标是解本题的关键.
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