题目内容

已知圆C经过点A(0,3)和B(3,2),且圆心C在直线y=x上.
(Ⅰ) 求圆C的方程;
(Ⅱ)若直线y=2x+m被圆C所截得的弦长为4,求实数m的值.
分析:(Ⅰ)设圆C的圆心坐标为C(a,a),再由圆C经过A(0,3)、B(3,2)两点,可得|CA|2=|CB|2,即可求得圆心坐标和半径,从而求得圆C的方程.
(Ⅱ)通过圆心距、半径、半弦长满足的勾股定理,即可求实数m的值.
解答:解:(Ⅰ)由于圆心在直线y=x上,故可设圆C的圆心坐标为C(a,a). 再由圆C经过A(0,3)、B(3,2)两点,
可得|CA|=|CB|,∴|CA|2=|CB|2,∴(a-0)2+(a-3)2=(a-3)2+(a-2)2
解得 a=1,故圆心C(1,1),半径r=
(a-3)2+(a-2)2 
=
5

故圆C的方程为 (x-1)2+(y-1)2=5,
(Ⅱ)圆心C(1,1),半径r=
(a-3)2+(a-2)2 
=
5

圆心到直线y=2x+m的距离为:
|2-1+m|
5
=
|1+m|
5

直线被圆C所截得的弦长为4,所以半弦长为:2;
所以(
5
2=22+(
|1+m|
5
2
所以实数m的值为-1±
5
点评:本题主要考查求圆的标准方程的方法,求出圆心坐标和半径的值,是解题的关键,属于中档题.
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