题目内容

已知 $数学公式$ ．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的最大值和最小值；
（3）若 $数学公式$ ，如何由（2）的结论求g（x）的最大值和最小值．

解：（1）f（x）的定义域为[0，1]．
（2） $\text{[math]}$ ，
设 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，
当α=β时， $\text{[math]}$ ，此时f（x）最大值为 $\text{[math]}$ ，
又cos（β-α）在 $\text{[math]}$ 递增，在 $\text{[math]}$ 递减，
∴f（x）的最小值是f（0）与f（1）的较小者，即A与B的较小者．
（3）设 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，
由（2）知g（x）的最大值为 $\text{[math]}$ ，
最小值为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的较小者，即 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据要使偶次根式有意义，只需根式里大于等于零，建立不等关系，解之即可；
（2）利用三角换元，转化成 $\text{[math]}$ ，然后研究cos（β-α）在[0，1]上的单调性，求出最值即可；
（3）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 转化成 $\text{[math]}$ ，利用上一问结论即可求得最值．
点评：本题主要考查了函数的定义域及其求法，以及函数的最值及其几何意义，属于基础题．