Question

在△ABC中，已知tan

A+B

2

=sinC，给出以下论断：
①tanA-cotB=1         ②0＜sinA+sinB≤

2

③sin²A+cos²B=1    ④cos²A+cos²B=sin²C
其中正确的是：______．

Answer 1

∵tan

A+B

2

=sinC，∴

sin A+B 2

cos A+B 2

=2sin

A+B

2

cos

A+B

2

，
整理求得cos

A+B

2

=

2

2

，∴A+B=90°．
∴tanA-cotB=tanA-tanA=0，不等于1，故①不正确．
由上可得 sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+45°），
 45°＜A+45°＜135°，故有

2

2

＜sin（A+45°）≤1，
∴0＜sinA+sinB≤

2

，所以②正确．
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A，不一定等于1，故③不正确．
∵cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，sin²C=sin²90°=1，
所以cos²A+cos²B=sin²C，所以④正确．
故答案为②④．