Question

在△ABC中，已知B（-3，0），C（3，0），D为线段BC上一点，，H是△ABC的垂心，且．
（Ⅰ）求点H的轨迹M的方程；
（Ⅱ）若过C点且斜率为的直线与轨迹M交于点P，点Q（t，0）是x轴上任意一点，求当△CPQ为锐角三角形时t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设H（x，y），A（x，y），则由知，AD是△ABC的高，所以x=x．由．由此能求出点H的轨迹M的方程．
（Ⅱ）役直线CP的方程为．由，解得点P的坐标为．由此进行分类讨论，能求出当△CPQ为锐角三角形时t的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）设H（x，y），A（x，y），
则由知，AD是△ABC的高，
∴x=x．
由．
∴A（x，4y）．…（1分）
∴．…（2分）
∵H是△ABC的垂心，，…（4分）
∴（3-x，-4y）•（x+3，y）=0，
即x²+4y²=9（y≠0）．…（6分）（y≠0漏写扣1分）
（Ⅱ）直线CP的方程为．
由，
解得点P的坐标为．…（7分）
（i）∵，
∴当∠PCQ是锐角时，点Q只能在点C的左侧，此时t＜3．…（8分）
（ii）当∠PQC为锐角时，k_PQ＞0，此时t＜0；…（9分）
（iii）当∠QPC为锐角时，，
即．…（11分）
∴．…（12分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．