Question

在△ABC中，已知B（-3，0），C（3，0），D为线段BC上一点，

AD

•

BC

=0，H是△ABC的垂心，且

AH

=3

HD

．
（Ⅰ）求点H的轨迹M的方程；
（Ⅱ）若过C点且斜率为-

1

2

的直线与轨迹M交于点P，点Q（t，0）是x轴上任意一点，求当△CPQ为锐角三角形时t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设H（x，y），A（x₀，y₀），则由

AD

•

BC

=0知，AD是△ABC的高，所以x₀=x．由

AC

=3

HD

，得y0=4y．由此能求出点H的轨迹M的方程．
（Ⅱ）役直线CP的方程为y=-

1

2

(x-3)．由

y=- 1 2 (x-3) x2+4y2=9

，解得点P的坐标为(0，

3

2

)．由此进行分类讨论，能求出当△CPQ为锐角三角形时t的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设H（x，y），A（x₀，y₀），
则由

AD

•

BC

=0知，AD是△ABC的高，
∴x₀=x．
由

AH

=3

HD

得y₀=4y
∴A（x，4y）．…（1分）
∴

AC

=(3-x，-4y)，

BH

=(x+3，y)．…（2分）
∵H是△ABC的垂心，

BH

•

AC

=0，…（4分）
∴（3-x，-4y）•（x+3，y）=0，
即x²+4y²=9（y≠0）．…（6分）（y≠0漏写扣1分）
（Ⅱ）直线CP的方程为y=-

1

2

(x-3)．
由

y=- 1 2 (x-3) x2+4y2=9

，
解得点P的坐标为(0，

3

2

)．…（7分）
（i）∵kCP=-

1

2

，
∴当∠PCQ是锐角时，点Q只能在点C的左侧，此时t＜3．…（8分）
（ii）当∠PQC为锐角时，k_PQ＞0，此时t＜0；…（9分）
（iii）当∠QPC为锐角时，

PQ

•

PC

＞0，
即(t，-

3

2

)•(3，-

3

2

)＞0，t＞-

3

4

．…（11分）
∴-

3

4

＜t＜0．…（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．