Question

【题目】已知正实数x，y满足等式．

（Ⅰ）试将y表示为x的函数，并求出定义域和值域；

（Ⅱ）是否存在实数m，使得函数有零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．定义域是．值域是．（Ⅱ）存在，

【解析】

(Ⅰ)先利用对数的换底公式，转化为以y为底的两个对数式相等，进而去掉对数符号，得到函数，结合对数的真数大于0和底数大于0且不等于1，可求函数的定义域，进而求出函数值域；

（Ⅱ）先利用换元法，再利用分离参数法，转化为二次函数即可得解．

（Ⅰ）由题可得，

则，即．

由题意知解得，

所以的定义域是．

令，则，且，

则，

当且仅当，即时，等号成立，

则函数的值域是．

（Ⅱ）若存在满足题意的实数m，则关于x的方程在上有实数解．

令，则由（Ⅰ）知，

问题转化为关于u的方程在上有实数解，

则．

因为对称轴为，

又，在上单调递增，

故，

所以．

即存在满足题意的实数m，其取值范围是．