Question

【题目】定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界.已知函数， .

（1）若函数为奇函数，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；

（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）上界构成集合为；（3）实数的取值范围为.

【解析】试题分析：（1），即，得；（2）函数在区间上单调递增，所以值域为，所以所有上界构成集合为；（3）在上恒成立，分离参数得在上恒成立，所以的取值范围为.

试题解析：

（1）因为函数为奇函数，

所以，即，

即，得，而当时不合题意，故.

（2）由（1）得： ，

易知，函数在区间上单调递增，

所以函数在区间上单调递增，

所以函数在区间上的值域为，

所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为.

（3）由题意知， 在上恒成立.

， .

∴在上恒成立.

∴

设， ， ，由得，

设， ，

，

所以在上递减， 在上递增，

在上的最大值为， 在上的最小值为.

所以实数的取值范围为.