Question

10．某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t．每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t．甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润总额达到最大？

Answer 1

分析 设分别生产甲乙两种产品x吨，y吨，利润总额为z=600x+1000y元，即y=-$\frac{3}{5}$x$+\frac{z}{1000}$，列出不等式组，作出平面区域，找到目标函数截距取最大值时对应的点，求出点的坐标代入利润公式即可．

解答 解：设分别生产甲乙两种产品x吨，y吨，利润总额为z元，则z=600x+1000y，
其中，$\left\{\begin{array}{l}{10x+4y≤300}\\{5x+4y≤200}\\{4x+9y≤360}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，作出平面区域如图，


∵z=600x+1000y，
∴y=-$\frac{3}{5}$x$+\frac{z}{1000}$，
故当直线y=-$\frac{3}{5}$x$+\frac{z}{1000}$经过点P时，截距最大，即z最大．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{4x+9y=360}\\{5x+4y=200}\end{array}\right.$得x≈12.4，y≈34.5．
将x=12.4，y=34.5代入z=600x+1000y得z=41940．
∴生产甲种产品12.4t，乙种产品34.5t时所获利润最大，最大利润为41940元．

点评 本题考查了线性规划在生活中的应用，寻求题目中的不等关系是解决本题的关键，计算量较大，是中档题．