Question

【题目】已知函数，其中

（1）当时，写出函数的单调区间；

（2）若函数为偶函数，求实数的值；

（3）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为.（2）（3）

【解析】

（1）将代入解析式，即可根据绝对值函数的图像与性质判断出单调区间.

（2）根据偶函数性质，可知必有，即可解得的值，再代入检验即可.

（3）将解析式代入化简不等式，讨论与两种情况.再当时，对分类讨论，结合不等式恒成立的条件即可求得的取值范围.

（1）函数，

将代入可得，

由绝对值函数图像可知，当时单调递增，当时单调递减，

所以单调递增区间为，单调递减区间为，

（2）函数为偶函数，

则满足，

即，

所以，

解得，

将代入解析式可得，符合题意，

（3）对任意的实数，不等式恒成立，

则对任意的实数，不等式恒成立，

化简可得，

，当时，，所以恒成立，即此时，

，当时，不等式可化为，

令，

当时，，，

即有，

即，解不等式可得，

当时，即有，化简可得，

令，解得 或（舍），

可得，

当时，可得不能恒成立；

当时，，要使得，只需，

即，解得，不合题意舍去，

当时，要使得，只需，

即，解得，不合题意舍去，

综上可得的取值范围为