Question

（2012•九江一模）设函数f（x）=sin（

π

2

x+

π

6

）-2sin²

π

4

x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于原点对称，求S=g（1）+g（2）+…+g（2012）的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为

3

sin（

π

2

x+

π

3

）-1，由此求得f（x）的最小正周期．
（2）在函数y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），则它关于原点的对称点（-x，-g（x））在函数y=f（x）的图象上，由此求得 g（x）=

3

sin（

π

2

x-

π

3

）+1，由此求得
函数g（x）的周期为4，求出g（1）+g（2）+g（3）+g（4）的值，即可求得S=g（1）+g（2）+…+g（2012）的值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（

π

2

x+

π

6

）-2sin²

π

4

x=

3

2

sin

π

2

x+

1

2

cos

π

2

x-2•

1-cos π 2 x

2

=

3

（

1

2

sin

π

2

x+

3

2

cos

π

2

x）-1=

3

sin（

π

2

x+

π

3

）-1，
故函数f（x）的最小正周期T=

2π

π 2

=4．
（2）∵函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于原点对称，在函数y=g（x）的图象上任取一点
（x，g（x）），则它关于原点的对称点（-x，-g（x））在函数y=f（x）的图象上，
即点（-x，-g（x））的坐标满足函数y=f（x）的解析式，故有-g（x）=

3

sin（-

π

2

x+

π

3

）-1=-

3

sin（

π

2

x-

π

3

）-1，
∴g（x）=

3

sin（

π

2

x-

π

3

）+1，故函数g（x）的周期为4．
∵g（1）=

3

sin（

π

2

-

π

3

）+1=

3

2

+1，g（2）=

3

sin（

π

2

×2-

π

3

）+1=

3

2

+1，g（3）=

3

sin（

π

2

×3-

π

3

）+1=1-

3

2

，
g（4）=

3

sin（

π

2

×4-

π

3

）+1=1-

3

2

，∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=4．
S=g（1）+g（2）+…+g（2012）=503（g（1）+g（2）+g（3）+g（4））=503×4=2012．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，利用函数的周期性求函数值，属于中档题．