Question

已知二次函数f（x）=x²-2bx+a，满足f（x）=f（2-x），且方程f（x）-

3a

4

=0有两个相等的实根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[t，t+1]（t∈R）时，求函数f（x）的最小值g（t）的表达式．

Answer 1

分析：（1）通过f（x）=f（2-x），求出函数的对称轴方程，求出二次函数的对称轴方程，即可求b，利用方程f（x）-

3a

4

=0有两个相等的实根，判别式等于0，求出a，即可求解函数f（x）的解析式；
（2）求出函数的对称轴方程，利用对称轴在[t，t+1]内以及区间外，分别求出函数的最小值，即可求函数f（x）的最小值g（t）的表达式．

解答：解：（1）由f（x）=f（2-x），可知函数的对称轴方程为x=1，
而二次函数f（x）=x²-2bx+a的对称轴是x=b，
所以，对称轴：x=b=1，
由方程f（x）-

3a

4

=0有两个相等的实根可得：△=4-4×

a

4

=0，
解得a=4．
∴f（x）=x²-2x+4．   （5分）
（2）f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3．
①当t+1≤1，即t≤0时，y_min=f（t+1）=t²+3；    （6分）
②当t＜1＜t+1，即0＜t＜1时，y_min=f（1）=3；    （8分）
③当t≥1时，y_min=f（t）=t²-2t+4；    （10分）
综上：g(t)=

t2+3，t≤0 3，0＜t＜1 t2-2t+4，t≥1

．　　    （12分）

点评：本题考查二次函数闭区间上的最值的求法，二次函数的解析式的求法，考查函数的基本知识的应用．