Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=1，M、N分别是棱A₁B、B₁C₁上的点，且BM=2A₁M，C₁N=2B₁N，MN⊥A₁B．
（1）求直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中的高a及MN的长；
（2）动点P在B₁C₁上移动，问P在何位置时，△PA₁B的面积才能取得最小值．

Answer 1

分析：（1）以A为原点，射线AB、AC、AA₁分别为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，利用数量积为0，可求高a及MN的长；
 （2）假设动点P的坐标，进而表示出，△PA₁B的面积，再求最小值．

解答：解：（1）以A为原点，射线AB、AC、AA₁分别为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，

A1B

={1，0，-a}，

MN

={

1

3

，

1

3

，

a

3

}，．由

A 1B

⊥

MN

⇒

A1B

•

MN

=0得，

1

3

-

1

3

a2=0⇒a=1，|

MN

| =

3

3

．
（2）设P（t，1-t，1），于是，

A1P

={t，1-t，0}，

A1B

={1，0，-1}，设

A1B

与

A1P

所成的角为θ，cosθ=

A1P  •  A1B

|  A1P  | • |  A1B  |

=

t

2t2-2t+1 • 2

⇒sinθ=

3t2-4t+2

2t2-2t+1 • 2

，S△PA1B=

1

2

|

A1B

|•|

A1P

|•sinθ=

3t2-4t+2

2

，
则当t=

2

3

时，Smin=

6

6

．即当与N重合时，△PA₁B的面积才能取得最小值

6

6

．

点评：本题以直三棱柱为载体，考查利用空间向量解决立体几何问题，关键是空间直角坐标系的建立．