Question

（2013•南开区二模）已知函数f（x）=x³-tx²+3x，若对于任意的a∈[1，2]，b-a=1，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，则实数t的取值范围是（　　）

A．（-∞，3]

B．（-∞，5]

C．[3，+∞）

D．[5，+∞）

Answer 1

分析：由f（x）在区间（a，b）上单调递减，得f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在（a，b）上恒成立，由二次函数的性质可得

3a2-2ta+3≤0 3b2-2tb+3≤0

，即

3a2-2ta+3≤0 3(a+1)2-2t(a+1)+3≤0

，又对于任意的a∈[1，2]，b-a=1，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，则不等式组关于a恒成立，分离出参数t后转化为函数最值问题可解决．

解答：解：f′（x）=3x²-2tx+3，
因为f（x）在区间（a，b）上单调递减，
所以f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在（a，b）上恒成立，
所以有

3a2-2ta+3≤0 3b2-2tb+3≤0

，即

3a2-2ta+3≤0 3(a+1)2-2t(a+1)+3≤0

，
所以

t≥ 3 2 (a+ 1 a ) t≥ 3 2 [(a+1)+ 1 a+1 ]

（*），
因为对于任意的a∈[1，2]，f（x）在（a，b）上单调递减，所以（*）式恒成立，
又

3

2

(a+

1

a

)≤

3

2

(2+

1

2

)=

15

4

（a=2时取等号），

3

2

[(a+1)+

1

a+1

]≤

3

2

(3+

1

3

)=5（a=2时取等号），
所以

t≥ 15 4 t≥5

，即t≥5，
故选D．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．