Question

（2013•南开区二模）设函数f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+a．
（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角公式，和辅助角公式，我们易将函数的解析化简为正弦型函数的形式，进而求出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，根据函数f（x）的最大值与最小值的和为

3

2

，我们可构造出关于a的方程，解方程即可得到a的值．

解答：解（1）f(x)=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+a=sin(2x+

π

6

)+a+

1

2

，（2分）
∴T=π．（4分）
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得

π

6

+kx≤x≤

2π

3

+kπ．
故函数f（x）的单调递减区间是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ](k∈Z)．                 （6分）
（2）∵-

π

6

≤x≤

π

3

，∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

．∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．（8分）
当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，原函数的最大值与最小值的和(1+a+

1

2

)+(-

1

2

+a+

1

2

)=

3

2

，∴a=0（12分）

点评：本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的值域，正弦函数的单调性，其中根据二倍角公式，和辅助角公式，化简函数的形式，是解答本题的关键．