题目内容

已知椭圆的中心为原点O，一个焦点为F $数学公式$ ，离心率为 $数学公式$ ．以原点为圆心的圆O与直线 $数学公式$ 互相切，过原点的直线l与椭圆交于A，B两点，与圆O交于C，D两点．
（1）求椭圆和圆O的方程；
（2）线段CD恰好被椭圆三等分，求直线l的方程．

解：（1）∵椭圆的焦点为F $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴a=2，b= $\text{[math]}$ =1
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$
∵以原点为圆心的圆O与直线 $\text{[math]}$ 相切
∴圆O的半径为 $\text{[math]}$
∴圆O的方程为x²+y²=16；
（2）设直线l的方程为y=kx，代入椭圆方程可得 $\text{[math]}$
∴x=± $\text{[math]}$ ，∴y=±k $\text{[math]}$
∴A（ $\text{[math]}$ ，k $\text{[math]}$ ），B（- $\text{[math]}$ ，-k $\text{[math]}$ ），
∴|AB|= $\text{[math]}$
∵线段CD恰好被椭圆三等分，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴直线l的方程为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据椭圆的焦点为F $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，可得椭圆的几何量，从而可得椭圆的方程，利用以原点为圆心的圆O与直线 $\text{[math]}$ 相切，可得圆的半径，从而可圆的而发愁；
（2）设直线l的方程为y=kx，代入椭圆方程，求得A，B的坐标，求出|AB|，利用线段CD恰好被椭圆三等分，建立方程，可得k的值，从而可求直线l的方程．
点评：本题考查椭圆、圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．