Question

如图，椭圆C：x²＋3y²＝3b²(b＞0)．

(Ⅰ)求椭圆C的离心率；

(Ⅱ)若b＝1，A，B是椭圆C上两点，且|AB|＝，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：由x2＋3y2＝3b2 　　得， 　　所以e＝＝＝＝．　5分 　　(Ⅱ)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABO的面积为S． 　　如果AB⊥x轴，由对称性不妨记A的坐标为(，)，此时S＝＝； 　　如果AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y＝kx＋m， 　　由得x2＋3(kx＋m)2＝3， 　　即(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，又Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)＞0， 　　所以x1＋x2＝－，x1x2＝， 　　(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝，① 　　由|AB|＝及|AB|＝得 　　(x1－x2)2＝，② 　　结合①，②得m2＝(1＋3k2)－．又原点O到直线AB的距离为， 　　所以S＝， 　　因此S2＝＝[－]＝[－(－2)2＋１] 　　＝－(－2)2＋≤， 　　故S≤．当且仅当＝2，即k＝±1时上式取等号．又＞，故Smax＝．　15分

提示：

本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．