Question

已知正项等比数列{a_n}满足：a₃=a₂+2a₁，若存在两项a_m，a_n，使得

aman

=4a1，则

1

m

+

4

n

的最小值为（　　）

A． 3 2

B． 5 3

C． 25 6

D．不存在

Answer 1

∵正项等比数列{a_n}满足：a₃=a₂+2a₁，
∴a1q2=a1q+2a1，
即：q²=q+2，解得q=-1（舍），或q=2，
∵存在两项a_m，a_n，使得

aman

=4a1，
∴aman=16a12，
∴(a1•2m-1)•(a1•2n-1)=16a12，
∴a12•2m+n-2=16a12，
所以，m+n=6，
∴

1

m

+

4

n

=（

1

m

+

4

n

）[

1

6

（m+n）]=

1

6

（5+

n

m

+

4m

n

）≥

1

6

（5+2

n m • 4m n

）=

3

2

，
所以，

1

m

+

4

n

的最小值是

3

2

．