题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的离心率为e=
3
3
，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1•k2为定值；
（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若
|OP|
|OM|
=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
分析：（I）写出圆的方程，利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b的值，利用椭圆的离心率公式得到a，c的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a，c的值，将a，b的值代入椭圆的方程即可．
（II）设出P的坐标，将其代入椭圆的方程得到P的坐标的关系，写出A，B的坐标，利用两点连线的斜率公式求出
k1，k2，将P的坐标的关系代入k1k2化简求出其值．
（III）设出M的坐标，求出P的坐标，利用两点的距离公式将已知的几何条件用坐标表示，通过对参数λ的讨论，判断出M的轨迹．
解答：解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为x2+y2=b2，
∵直线x-y+2=0与圆相切，
∴d=
2
2
=b，
即b=
2
，
又e=
c
a
=
3
3
，
即a=
3
c，
a2=b2+c2，
解得a=
3
，c=1，
所以椭圆方程为
x2
3
+
y2
2
=1．
（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠0），
A(-
3
，0)，B(
3
，0)，
则
x
2
0
3
+
y
2
0
2
=1，即
y
2
0
=2-
2
3
x
2
0
，
则k1=
y0
x0+
3
，k2=
y0
x0-
3
，
即k1•k2=
y
2
0
x
2
0
-3
=
2-
2
3
x
2
0
x
2
0
-3
=
2
3
(3-
x
2
0
)
x
2
0
-3
=-
2
3
，
∴k1•k2为定值-
2
3
．
（Ⅲ）设M（x，y），其中x∈[-
3
，
3
]．
由已知
|OP|2
|OM|2
=λ2及点P在椭圆C上可得
x2+2-
2
3
x2
x2+y2
=
x2+6
3(x2+y2)
=λ2，
整理得（3λ2-1）x2+3λ2y2=6，其中x∈[-
3
，
3
]．
①当λ=
3
3
时，化简得y2=6，
所以点M的轨迹方程为y=±
6
(-
3
≤x≤
3
)，轨迹是两条平行于x轴的线段；
②当λ≠
3
3
时，方程变形为
x2
6
3λ2-1
+
y2
6
3λ2
=1，其中x∈[-
3
，
3
]，
当0＜λ＜
3
3
时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-
3
≤x≤
3
的部分；
当
3
3
＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-
3
≤x≤
3
的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆
点评：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．
练习册系列答案
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已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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