题目内容
已知椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1•k2为定值；
（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若
| |OP| |
| |OM| |
分析：（I）写出圆的方程，利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b的值，利用椭圆的离心率公式得到a，c的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a，c的值，将a，b的值代入椭圆的方程即可．
（II）设出P的坐标，将其代入椭圆的方程得到P的坐标的关系，写出A，B的坐标，利用两点连线的斜率公式求出
k1，k2，将P的坐标的关系代入k1k2化简求出其值．
（III）设出M的坐标，求出P的坐标，利用两点的距离公式将已知的几何条件用坐标表示，通过对参数λ的讨论，判断出M的轨迹．
（II）设出P的坐标，将其代入椭圆的方程得到P的坐标的关系，写出A，B的坐标，利用两点连线的斜率公式求出
k1，k2，将P的坐标的关系代入k1k2化简求出其值．
（III）设出M的坐标，求出P的坐标，利用两点的距离公式将已知的几何条件用坐标表示，通过对参数λ的讨论，判断出M的轨迹．
解答：解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为x2+y2=b2，
∵直线x-y+2=0与圆相切，
∴d=
=b，
即b=
，
又e=
=
，
即a=
c，
a2=b2+c2，
解得a=
，c=1，
所以椭圆方程为
+
=1．
（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠0），
A(-
，0)，B(
，0)，
则
+
=1，即
=2-
，
则k1=
，k2=
，
即k1•k2=
=
=
=-
，
∴k1•k2为定值-
．
（Ⅲ）设M（x，y），其中x∈[-
，
]．
由已知
=λ2及点P在椭圆C上可得
=
=λ2，
整理得（3λ2-1）x2+3λ2y2=6，其中x∈[-
，
]．
①当λ=
时，化简得y2=6，
所以点M的轨迹方程为y=±
(-
≤x≤
)，轨迹是两条平行于x轴的线段；
②当λ≠
时，方程变形为
+
=1，其中x∈[-
，
]，
当0＜λ＜
时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-
≤x≤
的部分；
当
＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-
≤x≤
的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆
∵直线x-y+2=0与圆相切，
∴d=
| 2 | ||
|
即b=
| 2 |
又e=
| c |
| a |
| ||
| 3 |
即a=
| 3 |
a2=b2+c2，
解得a=
| 3 |
所以椭圆方程为
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 2 |
（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠0），
A(-
| 3 |
| 3 |
则
| ||
| 3 |
| ||
| 2 |
| y | 2 0 |
| 2 |
| 3 |
| x | 2 0 |
则k1=
| y0 | ||
x0+
|
| y0 | ||
x0-
|
即k1•k2=
| ||
|
2-
| ||||
|
| ||||
|
| 2 |
| 3 |
∴k1•k2为定值-
| 2 |
| 3 |
（Ⅲ）设M（x，y），其中x∈[-
| 3 |
| 3 |
由已知
| |OP|2 |
| |OM|2 |
x2+2-
| ||
| x2+y2 |
| x2+6 |
| 3(x2+y2) |
整理得（3λ2-1）x2+3λ2y2=6，其中x∈[-
| 3 |
| 3 |
①当λ=
| ||
| 3 |
所以点M的轨迹方程为y=±
| 6 |
| 3 |
| 3 |
②当λ≠
| ||
| 3 |
| x2 | ||
|
| y2 | ||
|
| 3 |
| 3 |
当0＜λ＜
| ||
| 3 |
| 3 |
| 3 |
当
| ||
| 3 |
| 3 |
| 3 |
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆
点评：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．
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