题目内容

已知方程f（x）=x2+ax+2b的两个根分别在（0，1），（1，2）内，则a2+（b-4）2的取值范围为（　　）
A、(
17
，
20
)
B、(
9
5
5
，
20
)
C、（17，20）
D、(
81
5
，20)
分析：根据方程f（x）=x2+ax+2b的两个根分别在（0，1），（1，2）内，推出a、b的关系，利用线性规划，得到ab的可行域，a2+（b-4）2的含义是可行域内的点到（0，4）点结论的平方，求其范围即可．
解答：解：f（x）开口向上
两个根分别在（0，1），（1，2）内，所以，f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0
2b＞0
（a+2b+1）＜0
（2a+2b+4）＞0
所以，
在同一直角aOb坐标系里，画出直线
b=0，a+2b+1=0，a+b+2=0
记b=0和a+2b+1=0的交点为A，a+2b+1=0和a+b+2=0的交点为Q，
b=0和a+b+2=0的交点为B
那么，A（-1，0），Q（-3，1），B（-2，0）
我们知道，
b＞0
a+2b+1＜0
a+b+2＞0
就是三角形AQB．
a2+（b-4）2其实就是点P（0，4）到三角形区域的距离的平方
根据图，我们知道，最小的距离是P垂直于AQ时的距离，这时候，
最小距离d=
9
5
最大距离是，PQ=
20

因为该三角形的边线不符合不等式条件！
所以，a2+（b-4）2的范围是（
81
5
，20）
点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，线性规划，是难题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=a•lnx+b•x2在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若f（x）满足f（x）≥g（x）恒成立，则称f（x）是g（x）的一个“上界函数”，如果函数f(x)为g(x)=
t
x
-lnx（t为实数）的一个“上界函数”，求t的取值范围；
（3）当m＞0时，讨论F(x)=f(x)+
x2
2
-
m2+1
m
x在区间（0，2）上极值点的个数．
（理） 已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在[
12
，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．
已知函数f（x）=x2-4x+3
（1）当x∈[-1，3]时，求函数f（x）的值域；
（2）若关于x的方程|f（x）|-a=0有三个不相等的实数根，求实数a的值；
（3）已知t＞0，求函数f（x）在区间[t，t+1]上的最小值．
已知函数f（x）=
1
3
x3-x2-3x，g（x）=ax2-3x+b，（a，b∈R，且a≠0，b≠0）．满足f（x）与g（x）的图象在x=x0处有相同的切线l．
（I）若a=
1
2
，求切线l的方程；
（II）已知m＜x0＜n，记切线l的方程为：y=k（x），当x∈（m，n）且x≠x0时，总有[f（x）-k（x）]•[g（x）-k（x）]＞0，则称f（x）与g（x）在区间（m，n）上“内切”，若f（x）与g（x）在区间（-3，5）上“内切”，求实数a的取值范围．
（2009•虹口区二模）已知函数f （x）=
|x|x+2

（1）判断f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明；
（2）若关于x的方程f （x）=k有根在[2，3]内，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程f （x）=k x2有四个不同的实数根，求实数k的取值范围．

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