Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-x²-3x，g（x）=ax²-3x+b，（a，b∈R，且a≠0，b≠0）．满足f（x）与g（x）的图象在x=x₀处有相同的切线l．
（I）若a=

1

2

，求切线l的方程；
（II）已知m＜x₀＜n，记切线l的方程为：y=k（x），当x∈（m，n）且x≠x₀时，总有[f（x）-k（x）]•[g（x）-k（x）]＞0，则称f（x）与g（x）在区间（m，n）上“内切”，若f（x）与g（x）在区间（-3，5）上“内切”，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由导数的几何意义即可求解
（2）根据题目的定义，由函数f（x）与g（x）在区间（-3，5）上内切，可转化为f（x）-k（x）＞0恒成立，转化为求解函数的最值问题即可求解

解答：解（I）当a=

1

2

时，f′（x）=x²-2x-3，g′（x）=2ax-3=x-3
由f（x）与g（x）的图象在x=x₀处有相同的切线l可得，x02-2x0 -3=2ax0-3=x₀-3
∴x₀=0或x₀=3（3分）
当x₀=0时，y₀=0，此时b=0，切线的斜率k=-3，直线方程为y=-3x不是曲线的公共切线，（舍去）
当x₀=3时，y₀=-9，此时b=-

9

2

，切线的斜率k=0，切线方程y=-9
∴所求的切线方程为y=-9（6分）
（II）∵a＞0，k（x）=g′（x₀）（x-x₀）+g（x₀）
∴g（x）-k（x）=g（x）-g′（x）（x-x₀）-g（x₀）=a(x-x0)2＞0（9分）
∵f（x）与g（x）在区间（-3，5）上“内切”，
∴f（x）-k（x）＞0
∴f（x）-k（x）=f（x）-f′（x₀）（x-x₀）-f（x₀）
=

1

3

(x-x0)2（x+2x₀-3）=

1

3

（x-2a-2）²（x+4a+1）＞0（12分）
∴x＞-4a-1对任意x∈（-3，5）恒成立，则-4a-1≤-3
∴a≥

1

2

∵-3＜2a+2＜5
∴

1

2

≤a＜

3

2

（15分）

点评：本题主要考查了导数的几何意义的应用，及函数的恒成立问题的转化的应用，还考查了一定的计算能力