Question

（2009•虹口区二模）已知函数f （x）=

|x|

x+2

（1）判断f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明；
（2）若关于x的方程f （x）=k有根在[2，3]内，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程f （x）=k x²有四个不同的实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当x＞0时，f （x）=

|x|

x+2

=

x

x+2

=1-

2

x+2

，利用单调性的定义设0＜x₁＜x₂，判定f（x₁）与f（x₂）的大小即可
（2）当x∈[2，3]时，f（x）=

x

x+2

=1-

2

2+x

结合x∈[2，3]可求f（x）的范围，若f（x）=k在[2，3]上有解，则f（x）的范围即是k的范围
（3）f（x）=kx²有四个根，即

|x|

x+2

=kx2（*）有四个根，当x=0时，是方程（*）的1个根，则只要

|x|

x+2

=kx2有3个不为0的根，而

1

k

=

x(x+2)，x＞0 -x(x+2)，x＜0

结合函数g（x）=

x(x+2)，x＞0 -x(x+2)，x＜0

的图象可求

解答：解：（1）当x＞0时，f （x）=

|x|

x+2

=

x

x+2

=1-

2

x+2

设0＜x₁＜x₂
∴f(x1)-f(x2)=1-

2

2+x1

-1+

2

2+x2

=

2

2+x2

-

2

2+x1

=

2(x1-x2)

(2+x1)(2+x2)

∵0＜x₁＜x₂
∴2（x₁-x₂）＜0，（2+x₁）（2+x₂）＞0
∴

2(x1-x2)

(2+x1)(2+x2)

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增
（2）当x∈[2，3]时，f（x）=

x

x+2

=1-

2

2+x

∴4≤2+x≤5，

2

5

≤

2

2+x

≤

1

2

∴

1

2

≤1-

2

2+x

≤

3

5

∵f（x）=k在[2，3]上有解，则

1

2

≤k≤

3

5

（3）f（x）=kx²有四个根，即

|x|

x+2

=kx2（*）有四个根
当x=0时，是方程（*）的1个根
则

|x|

x+2

=kx2有3个不为0的根
而

1

k

=

x(x+2)，x＞0 -x(x+2)，x＜0

结合函数g（x）=

x(x+2)，x＞0 -x(x+2)，x＜0

的图象可知满足条件时有0＜

1

k

＜1
∴k＞1

点评：本题主要考查了函数的单调性的判断，函数值域的求解，方程的根与函数交点的相互转化，体现了分类讨论、转化思想与数形结合思想在解题中的应用