Question

7．如果在区间[1，3]上，函数f（x）=x²+px+q与g（x）=2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$在同一点取得相同的最小值，那么下列说法不对的是（　　）

• A． f（x）≥3（x∈[1，2]）
• B． f（x）≤4（x∈[1，2]）
• C． f（x）在x∈[1，2]上单调递增
• D． f（x）在x∈[1，2]上是减函数

Answer 1

分析 先利用基本不等式求得函数g（x）的最小值，及此时x的值，进而根据二次函数的性质列方程求得p和q，最后根据二次函数的性质求得函数在区间上的单调性和最值，即可得到结论．

解答 解：由于g（x）=2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$=x+x+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥3$\root{3}{x•x•\frac{1}{{x}^{2}}}$=3，
当x=1时取得最小值3，
∴对于函数f（x），当x=1时，函数有最小值3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+p+q=3}\\{-\frac{p}{2}=1}\end{array}\right.$，
求得p=-2，q=4，
∴f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3，
∴函数f（x）的对称轴为x=1，开口向上，
∴在区间[1，2]上，函数单调递增，且最小值为3，最大值为f（2）=4，
对照选项，可得A，B，C正确，D错误．
故选D．

点评 本题主要考查了基本不等式的应用，二次函数的性质．对于二次函数的对称轴，顶点位置，应能熟练应用，属于中档题．