Question

12．设A（a，a），点P为函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上一动点，若PA最小为2$\sqrt{2}$，求a取值范围．

Answer 1

分析 设点P（x，$\frac{1}{x}$）（x＞0），利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a的值．

解答 解：设点P（x，$\frac{1}{x}$）（x＞0），则|PA|=$\sqrt{（x-a）^{2}+（\frac{1}{x}-a）^{2}}$，
令y=x+$\frac{1}{x}$，|PA|=$\sqrt{{t}^{2}-2at+2{a}^{2}-2}$
∵x＞0，∴t≥2，
令g（t）=t²-2at+2a²-2=（t-a）²+a²-2，
①当a≤2时，t=a时g（t）取得最小值g（2）=2-4a+2a²=8，解得a=-1；
②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t=a，g（t）取得最小值g（a）=
a²-2，∴a²-2=8，解得a=$\sqrt{10}$．
综上可知：a=-1或$\sqrt{10}$．

点评 本题综合考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等基础知识和基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．