Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

3an+1

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=1，a_n+1=

an

3an+1

，即可求得a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想a_n=

1

3n-2

；分二步证明即可：①当n=1时，去证明等式成立；②假设n=k时，等式成立，去推证n=k+1时，等式也成立即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=

an

3an+1

，
∴a₂=

a1

3a1+1

=

1

4

；
a₃=

a2

3a2+1

=

1 4

3 4 +1

=

1

7

，a₄=

1 7

3 7 +1

=

1

10

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：a_n=

1

3n-2

．
证明：①当n=1时，a₁=1，等式成立；
②假设n=k时，a_k=

1

3k-2

，
则当n=k+1时，a_k+1=

ak

3ak+1

=

1 3k-2

3× 1 3k-2 +1

=

1

3k+1

=

1

3(k+1)-2

，
即n=k+1时，等式也成立．
综上所述，对任意自然数n∈N^*，a_n=

1

3n-2

．

点评：本题考查数列递推式，着重考查数学归纳法的应用，猜得a_n=

1

3n-2

是关键，考查运算与推理证明的能力，属于中档题．