Question

 

已知函数．

（Ⅰ）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；

（Ⅲ）求证．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）因为， ，则，                … 1分

当时，；当时，．

   所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，

   所以函数在处取得极大值．                                    … 2分

因为函数在区间（其中）上存在极值，

   所以  解得                                      … 4分

（Ⅱ）不等式，

即为 记

所以              … 6分

令则，     

   在上单调递增，，

从而                       

故在上也单调递增，，所以         …8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，即

   令，则，                   

 所以

………… …… 

．              

叠加得：……

                                              … 12分

则…，

所以                               …14分