Question

已知函数f(x)=2

3

a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3，且f(

π

24

)=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期T和单调递增区间；
（Ⅱ）若f（θ）=-3，且θ∈(-

5π

24

，

π

24

)，求θ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角根式化简函数f(x)=2

3

a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3，为

3 a

2

sin4x-3cos4x，然后化为一个角的一个三角函数的形式，然后求函数f（x）的周期T和利用基本函数的单调区间，求出函数f(x)=2

3

a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3单调递增区间；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果f(x)=6sin(4x-

π

6

)，代入f（θ）=-3，且θ∈(-

5π

24

，

π

24

)，直接求θ的值．

解答：解．（Ⅰ）f(x)=2

3

a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3
=

3 a

2

sin4x-3cos4x．又f(

π

24

)=0，得a=6．
∴f(x)=3

3

sin4x-3cos4x=6sin(4x-

π

6

)．
∴函数f（x）的周期T=

π

2

，
由2kπ-

π

2

≤4x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得函数单调递增区间为[-

π

12

+

kπ

2

，

π

6

+

kπ

2

]，k∈Z；
（Ⅱ）依题意得sin(4θ-

π

6

)=-

1

2

，
∵θ∈(-

5π

24

，

π

24

)，∴-π＜4θ-

π

6

＜0．
∴4θ-

π

6

=-

π

6

或-

5π

6

．解得θ=0或-

π

6

．

点评：本题考查复合三角函数的单调性，三角函数的周期性及其求法，考查转化思想，计算能力，是中档题，高考常考题型．