Question

（本小题满分13分）

已知函数是定义在上的奇函数,当时,

(其中e是自然对数的底, )     

   （1）求的解析式;

   （2）设，求证：当时，；

  （3）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3 ？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

1）    …………………4分

   （2）证明：当且时，，

设

因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以

又因为，所以当时，，此时单调递减，所以      

所以当时，即 …………

  （3） 存在实数，使得当时，有最小值３…

 

【解析】解：.5.u设，则，所以

又因为是定义在上的奇函数，所以 

故函数的解析式为    …………………4分

   （2）证明：当且时，，

设

因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以

又因为，所以当时，，此时单调递减，所以      

所以当时，即 ……………………8分

   （3）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，则

（ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，，不满足最小值是３

（ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，，也不满足最小值是３

（ⅲ）当，由于，则，故函数 是上的增函数．

所以，解得（舍去）         

（ⅳ）当时，则

当时，，此时函数是减函数；

当时，，此时函数是增函数．

所以，解得    

综上可知，存在实数，使得当时，有最小值３…………13分