题目内容
设G是△ABC的重心，且(56sinA)
+(40sinB)
+(35sinC)
=
，则B的大小为（ ）
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
| A、15° | B、30° |
| C、45° | D、60° |
分析：设出三角形的三边分别为a，b，c，根据正弦定理把已知的等式化简，然后由G为三角形的重心，根据中线的性质及向量的加法法则分别表示出
，
和
，代入化简后的式子中，然后又根据
等于
加
，把上式进行化简，最后得到关于
和
的关系式，由
和
为非零向量，得到两向量前的系数等于0，列出关于a，b及c的方程组，不妨令c=56，即可求出a与b的值，然后根据余弦定理表示出cosB，把a，b，c的值代入即可求出cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到B的度数．
| GA |
| GC |
| GB |
| CA |
| CB |
| BA |
| BA |
| BC |
| BA |
| BC |
解答：解：因为(56sinA)
+(40sinB)
+(35sinC)
=
设三角形的边长顺次为a，b，c，根据正弦定理得：
56a
+40b
+35
=
，
由点G为三角形的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：
3
=
+
，3
=
+
，3
=
+
，
代入上式得：56a（
+
）+40b（
+
）+35c（
+
）=
，
又
=
+
，上式可化为：
56a（2
+
）+40b（
+
）+35c（-
+2
）=
，
即（112a-40b-35c）
+（-56a-40b+70c）
=
，
则有
，
①-②得：168a=105c，即a：c=35：56，
设a=35k，c=56k，代入①得到b=49k，
所以cosB=
=
=
，又B∈（0，180°），
则B=60°．
故选D
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
设三角形的边长顺次为a，b，c，根据正弦定理得：
56a
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
由点G为三角形的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：
3
| GA |
| BA |
| CA |
| GB |
| CB |
| AB |
| GC |
| AC |
| BC |
代入上式得：56a（
| BA |
| CA |
| AB |
| CB |
| AC |
| BC |
| 0 |
又
| CA |
| CB |
| BA |
56a（2
| BA |
| CB |
| AB |
| CB |
| BA |
| BC |
| 0 |
即（112a-40b-35c）
| BA |
| BC |
| 0 |
则有
|
①-②得：168a=105c，即a：c=35：56，
设a=35k，c=56k，代入①得到b=49k，
所以cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| (352+562-492)k2 |
| 2(35×56)k2 |
| 1 |
| 2 |
则B=60°．
故选D
点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，掌握向量的加法法则及中线的性质，是一道中档题．
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+(sinB)•
+(sinC)•
=
，则B的大小为（ ）
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| A、45° | B、60° |
| C、30° | D、15° |