Question

【题目】如图所示，直三棱柱中，是边长为2等边三角形，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）若与平面所成角为，求与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接交于，证明出,从而证明平面.

（2）以为原点，建立如图所示空间坐标系，求出平面的一个法向量，通过向量夹角公式，求出与法向量之间的夹角余弦值，从而得到与平面所成角的正弦值.

(1)连接交于，

四边形为平行四边形， 为中点，又为中点，

平面 平面

平面

(2) 因为是等边三角形，是的中点，所以．

如图，以为原点，建立如图所示空间坐标系．

由与平面所成角为

则，

则，，

设平面的一个法向量为，

则，即，

取，则，

又，设与平面所成角为，则

，

故所求与平面所成角的正弦值为.