Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1，若在区间[-1，1]上，不等式f（x）-2x-m＞0恒成立，则实数m的取值范围为

（-∞，-1）

．

Answer 1

分析：二次函数f（x）=ax²+bx+c代入f（x+1）-f（x）=2x，根据系数对应相等可求a，b，而f（0）=1，进而可求f（x），然后将m分离得x²-3x+1＞m 对x∈[-1，1]恒成立，令g（x）=x²-3x+1，根据g（x）在[-1，1]上的单调性可求g（x）_min，可求m的范围．

解答：解：∵f（x）=ax²+bx+c，
∴f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2ax+a+b=2x，
∴

2a=2 a+b=0

，解得

a=1 b=-1

，即f（x）=x²-x+c，
又∵f（0）=1，
∴c=1，则f（x）=x²-x+1，
∵在区间[-1，1]上，不等式f（x）-2x-m＞0恒成立，
∴x²-x+1-2x-m＞0在区间[-1，1]上恒成立，
 即x²-3x+1＞m 对x∈[-1，1]恒成立，
令g（x）=x²-3x+1，又g（x）在[-1，1]上递减，
故g（x）_min=g（1）=-1
∴m＜-1即实数m的取值范围为（-∞，-1）．
故答案为：（-∞，-1）．

点评：本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，以及函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化，主要涉及单调性在函数的最值求解中的应用．属于中档题．