Question

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F₂C|=|F₂D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设P（x，y），则=，根据x的取值范围能够得到的最大值和最小值．
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l．由题意知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=k（x-5），再把直线y=k（x-5）和椭圆联系方程用根的判别式求l的方程或说明理由．
解答：解：（Ⅰ）由题意知，
设P（x，y），则=，
∵，
∴当 x=0时，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；
当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4．
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l．由题意知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=k（x-5）
由方程组，得（5k²+4）x²-50k²x+125k²-20=0
依题意．
当时，设交点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点为R（x，y），
则，∴，
又|F₂C|=|F₂D|?F₂R⊥l?，∴，
∴20k²=20k²-4，而20k²=20k²-4不成立，所以不存在直线l，使得|F₂C|=|F₂D|
综上所述，不存在直线l，使得|F₂C|=|F₂D|．
点评：本题考查椭圆的性质及其应用，难度较大，解题时要仔细审题，认真解答．