Question

设F₁、F₂分别是椭圆+=1(a＞b＞0)的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F₂交椭圆于点E，E恰好是直线EF₁与⊙F₂的切点.

（1）求该椭圆的离心率；

（2）若点E到椭圆的右准线的距离为，过椭圆的上顶点A的直线与⊙F₂交于B、C两点，且=λ，求λ的取值范围.

Answer 1

解：(1)由题意可知：⊙F₂的半径为b，EF₁⊥EF₂，

∴(2a-b)²+b²=4(a²-b²),

即2a=3b.∴椭圆的离心率为.

(2)由椭圆的定义可得：b=×=2，a=3，∴点F₂的坐标为(,0).

∴圆的方程为(x-)²+y²=4.

∴点A在圆外，且AB·AC=5.∴λAC²=5.

若λ＜1，则5＜AC≤5，此时≤λ＜1；

若λ＞1，则1≤AC＜，此时1＜λ≤5.

另解：由椭圆的定义可得：b=×=2，a=3，

∴点F₂的坐标为(,0).

∴圆的方程为(x-)²+y²=4.

设直线AC的方程为y=kx+2,

由此得-45＜k＜0.11分

设点B(x₁，y₁),C(x₂，y₂),∵=λ，∴x₁=λx₂.

由得(k²+1)x²+(4k-25)x+5=0.

∴x₁·x₂=,x₁+x₂=.

∴λ+=+=-2.

∴2＜λ+≤.∴≤λ＜1或1＜λ≤5.