Question

（2012•韶关二模）已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且S₁，2S₂，3S₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）设b_n=a_n+n，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）设出等比数列{a_n}的公比为q，若q为1，由首项a₁，利用等比数列的求和公式分别表示出S₁，2S₂，3S₃，得到S₁，2S₂，3S₃不成等差数列，矛盾，故q不为1，利用等比数列的求和公式分别表示出S₁，2S₂，3S₃，根据S₁，2S₂，3S₃成等差数列，利用等差数列的性质列出关于q的方程，求出方程的解得到q的值，首项a₁及q的值，利用等比数列的通项公式即可得到数列{a_n}通项公式；
（2）将第一问得出的数列{a_n}通项公式代入b_n=a_n+n中，得到数列{b_n}的通项公式，列举出数列{b_n}前n项和T_n的每一项，结合后根据数列{a_n}的前n项和S_n以及等差数列的求和公式进行变形，即可表示出数列{b_n}前n项和T_n．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公比为q，…（1分）
若q=1，则S₁=a₁=1，2S₂=4a₁=4，3S₃=9a₁=9，故S₁+3S₃=10≠2×2S₂，与已知矛盾，故q≠1，…（2分）
∴S_n=

a1(1-qn)

1-q

=

1-qn

1-q

，…（4分）
由S₁，2S₂，3S₃成等差数列，得S₁+3S₃=2×2S₂，
即1+3×

1-q3

1-q

=4×

1-q2

1-q

，
解得：q=

1

3

，…（5分）
则a_n=a₁•q^n-1=（

1

3

）^n-1；…（6分）
（2）由（1）得，b_n=a_n+n=（

1

3

）^n-1+n，…（7分）
所以T_n=（a₁+1）+（a₂+2）+…+（a_n+n）
=S_n+（1+2+…+n）=

a1(1-qn)

1-q

+

(1+n)n

2

…（10分）
=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

+

(1+n)n

2

=

3+n+n2-3n-1

2

．…（12分）

点评：此题考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．